2020年九下泉州质检第16题（反比例函数相关）八种解法

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2020年九下泉州质检第16题

作者：福建石狮八中　林瑞营泉州市2020年初三数学质检卷第16题是一道压轴题，是全卷最好的一道题目，涉及一次函数、反比例函数、矩形、直角三角形、面积、全等、相似等知识与技巧，解题思路宽泛，但又显得灵活多变，值得认真学习、研究。

试题：如图，四边形ABCO为矩形。点A在反比例函数y=4/x（x＞0）的图像上，点C在反比例函数y=-1/x（x＜0）的图像上，若点B在y轴上，则点A的坐标为（   ）.

解法一：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F.∴∠AEB=∠CFO=90°，在矩形ABCO中，AB∥CO，AB=CO∴∠ABE=∠COF∴△ABE≌△COFAE=OF，BE=CF∴OE=BF又∠BAE=90°-∠EAO=∠AOE，∠AEB=∠OEA∴△ABE∽△AOE.解法二：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F.∴∠AEB=∠CFO=90°，在矩形ABCO中，AB∥CO，AB=CO∴∠ABE=∠COF.∴△ABE≌△COF.∴AE=OF，BE=CF.∴OE=BF.又∠BAE=90°-∠EAO=∠AOE，∠AEB=∠OEA.∴△ABE∽△AOE.设A（m，4/m），则 AE=CF=m，OE=BF=4/m∴点C横坐标为-m，纵坐标为1/m.

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如果你在阅读本文，烦请在文章右下角点亮“在看”！对你来说，花不了多少时间，却能给作者带去信心和鼓励.你的一个“在看”就会让你的朋友知道你在阅读这篇文章，也许他（她）们也因你的“在看”而阅读本文，给本文带来人气，给作者持续向前的动力！解法三：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F∴∠AEB=∠CFO=90°，在矩形ABCO中，AB∥CO，AB=CO∴∠ABE=∠COF∴△ABE≌△COF,AE=OF，BE=CF.∴OE=BF.设A（m，4/m），则 AE=CF=m，OE=BF=4/m.∴点C（-m，1/m）.设直线OA解析式为y=kx，解法四：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F∴∠AEB=∠CFO=90°，在矩形ABCO中，AB∥CO，AB=CO∴∠ABE=∠COF.∴△ABE≌△COF，AE=OF，BE=CF∴OE=BF.又∠AEO=90°=∠PFC，∠AOE=90°-∠COF=∠OCF如果你在阅读本文，烦请在文章右下角点亮“在看”！对你来说花不了多少时间，但却能给作者带去信心和鼓励.你的一个“在看”就会让你的朋友知道你在阅读这篇文章，也许他（她）们也因你的“在看”而阅读本文，给本文带来人气，给作者持续向前的动力！

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解法五：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，

连接AC交y轴于点G.

∴∠AEB=∠CFO=90°.

在矩形ABCO中，CG=GA，∴FO=OE.

设A（m，4/m），则有C（-m，1/m）.

AE=4/m，FO=OE=m，OE=BF=4/m

∵∠CFO=∠COA=∠AEO=90°.

∴∠COF=90°-∠AOE=∠OAE.

解法六：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F

∴∠AEB=∠CFO=90°，

在矩形ABCO中，AB∥CO，AB=CO

∴∠ABE=∠COF.∴△ABE≌△COF

∵ S_△CFO=1/2，S_△AEO=2.

解法七：作AE⊥x轴于E，连接AC交y轴于点G，延长AO交y=4/x（x＜0）于H，连接CH交x轴于F，∴AO=OH.在矩形ABCO中，CG=GA，∴OG是△AHC的中位线∴CH∥OG，则CH⊥x轴.
解法八：作AE⊥x轴于E，连接AC交y轴于点G，延长AO交y=4/x（x＜0）于H，连接CH交x轴于F，∴AO=OH.在矩形ABCO中，CG=GA，∴OG是△AHC的中位线.∴CH∥OG，则CH⊥x轴.且CO是AH的中垂线.由对称关系可得：△AOE≌△HOFOE=OF，且S_△AOE=S_△HOF=2.小结：这是一道比较好的压轴题，题目简洁，综合性强，应用知识范围比较广，方法灵活多样。实际上这个问题还可以继续拓展一下，如图四边形ACHE是面积为10的菱形.
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